1. HAFTA
Yöneylem Araştırmasına Giriş
Yöneylem Araştırması (Operations Research - OR), sınırlı kaynakların en verimli şekilde kullanılması için matematiksel modeller geliştiren bir bilim dalıdır. İkinci Dünya Savaşı sırasında askeri lojistik problemlerini çözmek için doğmuştur.
Temel Süreç:
- Problemin Tanımlanması
- Matematiksel Modelin Kurulması
- Modelin Çözümü (Algoritma)
- Modelin Geçerliliğinin Test Edilmesi
- Çözümün Uygulanması
2. HAFTA
Doğrusal Programlama (Model Kurma)
Bir DP modeli üç ana bileşenden oluşur: Karar değişkenleri, Amaç fonksiyonu ve Kısıtlar.
Örnek Problem:
Bir mobilyacı Masa (X1) ve Sandalye (X2) üretmektedir. Masa 50 TL, Sandalye 30 TL kar bırakmaktadır.
MAX Z = 50X1 + 30X2 (Amaç Fonksiyonu)
Kısıtlar (Hammadde ve İşçilik):
2X1 + 1X2 <= 100 (Tahta stoku)
1X1 + 2X2 <= 80 (İşçilik saati)
X1, X2 >= 0 (Negatif olmama)
3. HAFTA
Doğrusal Programlama (Grafik Çözüm)
Sadece 2 değişkenli (X1, X2) problemler için kullanılır. Kısıtlar koordinat düzleminde çizilerek "Uygun Çözüm Bölgesi" bulunur.
Adımlar:
- Kısıt doğrularını çiz (Eşitlik gibi düşün).
- Eşitsizlik yönüne göre tarama yap.
- Kesişim bölgesi (poligon) uygun alandır.
- Köşe noktaları (Extreme Points) amaç fonksiyonunda dene.
- En yüksek değeri veren köşe Optimal Çözümdür.
| /
| / (Uygun Alan)
| /____
| / \
|/_______\_____ X1
4. HAFTA
Simplex Yöntemi (Giriş)
2'den fazla değişkenli problemler için genel çözüm algoritmasıdır (Dantzig, 1947). Eşitsizlikler "Aylak" (Slack) değişkenler eklenerek eşitliğe çevrilir.
2X1 + X2 <= 100 --> 2X1 + X2 + S1 = 100
X1 + 2X2 <= 80 --> X1 + 2X2 + S2 = 80
* S1 ve S2 kullanılmayan kapasiteyi temsil eder.
5. HAFTA
Simplex Yöntemi (Çözüm ve Yorum)
Başlangıç tablosundan başlayarak iterasyonlarla en iyi çözüme gidilir.
1. Pivot Sütunu Seç: Z satırında en negatif değeri olan sütun (Maksimum problemlerinde). Bu "Giren Değişken"dir.
2. Pivot Satırı Seç: Çözüm Sütunu / Pivot Sütunu oranları içinde en küçük pozitif olanı. Bu "Çıkan Değişken"dir.
3. Gauss-Jordan Eliminasyonu: Pivot elemanı 1, diğerlerini 0 yapacak satır işlemleri uygula.
6. HAFTA
Duyarlılık Analizi (Sensitivity)
Model parametreleri değişirse optimal çözüm nasıl etkilenir? "What-if" (Ne olursa ne olur?) analizidir.
- Gölge Fiyat (Shadow Price): Sağ taraf sabitindeki (örneğin hammadde miktarı) 1 birimlik artışın, toplam karda (Z) yaratacağı artış miktarıdır. Bir kaynağın marjinal değerini gösterir.
- İndirgenmiş Maliyet (Reduced Cost): Bir karar değişkeninin (ürünün) üretime girmesi için karının ne kadar artması gerektiğini gösterir.
7. HAFTA
Dualite (İkili İlişki)
Her Doğrusal Programlama probleminin (Primal), bir de ikizi (Dual) vardır.
Primal (Kaynak Tahsisi)
Maximasyon
Kısıt Sayısı (m)
Değişken Sayısı (n)
Amaç: Karı Maksimize Et
Dual (Kaynak Değerleme)
Minimizasyon
Değişken Sayısı (m)
Kısıt Sayısı (n)
Amaç: Kaynak Maliyetini Minimize Et
8. HAFTA
Ulaştırma Modelleri
Ürünlerin kaynaklardan (fabrikalar) hedeflere (depolar) en düşük maliyetle taşınması problemidir.
Başlangıç Çözüm Yöntemleri:
- Kuzey-Batı Köşesi Kuralı: Maliyetlere bakmadan sol üstten başlar. En basit ama en kötü çözümü verir.
- En Düşük Maliyetler Yöntemi: Tablodaki en ucuz hücreden başlar.
- Vogel Yaklaşımı (VAM): Cezalara (fırsat maliyetlerine) bakar. Genelde en iyi başlangıcı verir.
9. HAFTA
Atama Modelleri
İşlerin işçilere veya makinelerin görevlere 1-e-1 atanmasıdır. (n iş, n işçi). Ulaştırma modelinin özel bir halidir.
Macar Yöntemi (Hungarian Method):
- Her satırdaki en küçük sayıyı o satırdan çıkar.
- Her sütundaki en küçük sayıyı o sütundan çıkar.
- Sıfırları kapsayacak en az sayıda çizgiyi çiz.
- Çizgi sayısı satır/sütun sayısına eşitse optimal çözüm bulunmuştur.
10. HAFTA
Ağ (Şebeke) Analizleri
Projelerin planlanması ve kontrolü için kullanılır.
CPM (Kritik Yol Yöntemi)
Faaliyet süreleri kesindir (Deterministik). Kritik yol üzerindeki faaliyetlerde gecikme olursa proje gecikir. "Bolluk" (Slack) sıfırdır.
PERT (Program Değerlendirme)
Süreler belirsizdir (Olasılıklı). Üç tahmin kullanılır: İyimser (a), Kötümser (b), En olası (m).
Beklenen Süre = (a + 4m + b) / 6
11. HAFTA
Tamsayılı Programlama
Karar değişkenlerinin sadece tamsayı olabildiği durumlardır. (Örn: 2.5 adet gemi üretilemez).
- Saf Tamsayılı: Tüm değişkenler tamsayı.
- Karma Tamsayılı: Bazıları tamsayı, bazıları sürekli.
- 0-1 (Binary) Tamsayılı: Seçim problemleri (Yatırım yap/yapma = 1/0).
12. HAFTA
Oyun Teorisi
Rakiplerin (Oyuncuların) birbirlerinin hamlelerine göre strateji geliştirdiği durumları inceler (John Nash).
Sıfır Toplamlı Oyunlar: Birinin kazancı, diğerinin kaybına eşittir. (+5, -5).
Mahkum İkilemi: Bireysel rasyonellik, kolektif felakete yol açabilir. İşbirliği yapmak daha iyiyken, ihanet etmek baskın strateji olur.
13. HAFTA
Karar Teorisi
Belirlilik Altında
Sonuçlar kesindir. Doğrusal programlama kullanılır.
Belirsizlik Altında (Olasılık Yok)
- Maximin (Kötümser): En kötülerin en iyisini seç (Garanti).
- Maximax (İyimser): En iyilerin en iyisini seç (Risk al).
- Minimax Regret (Pişmanlık): Maksimum pişmanlığı minimize et.
Risk Altında (Olasılık Var)
Beklenen Parasal Değer (EMV) hesaplanır. Olasılık x Kazanç.
14. HAFTA
Genel Tekrar
Dönem boyunca işlenen konuların özeti:
- Modeli doğru kurmak çözümün %50'sidir.
- Simpleks algoritmasının adımlarını (Giren/Çıkan değişken) unutma.
- Dual problemde gölge fiyatların anlamını yorumla.
- Ulaştırma tablosunda arz=talep dengesini kontrol et.
- PERT şebekesinde kritik yolu belirle.
Başarılar!
Sınavda hesap makinesi getirmeyi unutmayınız.