MAT1044 - İşletme Matematiği II

Ders Müfredatı

1. HaftaBelirsiz İntegral ve Dönüşüm 2. HaftaKısmi ve Trigonometrik İnt. 3. HaftaRasyonel Kesirlerin İnt. 4. HaftaBelirli İntegral 5. HaftaAlan ve Hacim Hesabı 6. Haftaİntegralin İşletme Uyg. 7. HaftaVektör ve Matrisler

--- VİZE HAFTASI ---

9. HaftaMinör, Determinant, Ters Matris 10. HaftaMatrislerin İşletme Uyg. 11. HaftaLineer Denk. Sis. ve Uyg. 12. HaftaBasit Faiz ve İskonto 13. HaftaBileşik Faiz ve İskonto 14. HaftaAnüiteler 15. HaftaBorç Amortismanı

--- FİNAL SINIRI ---

1. HAFTA

Belirsiz İntegral ve Değişken Dönüştürümü

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini (aslını) bulma işlemine Belirsiz İntegral denir.

Temel Kurallar

Kuvvet Kuralı ($n \neq -1$):

$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

Üstel Kural:

$$ \int e^x dx = e^x + C $$

Değişken Dönüştürümü ($u$-Dönüşümü)

Karmaşık ifadelerde "içteki" fonksiyona $u$ denir.

Soru: $\int 2x(x^2+1)^5 dx$

1. $u = x^2+1 \Rightarrow du = 2x dx$

2. $\int u^5 du = \frac{u^6}{6} + C$

Sonuç: $\frac{(x^2+1)^6}{6} + C$

2. HAFTA

Kısmi İntegrasyon & Trigonometrik

Kısmi İntegrasyon ($u \cdot dv$)

Çarpım halindeki ifadeler için:

$$ \int u dv = u \cdot v - \int v du $$

LAPTÜ kuralına göre $u$ seçilir: Logaritma > Ark > Polinom > Trigonometri > Üstel.

Örnek: $\int x \sin x dx$

1. Seçim: $u = x \Rightarrow du = dx$

$dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x$

2. Formül: $= x(-\cos x) - \int (-\cos x) dx$

$= -x\cos x + \int \cos x dx$

$= -x\cos x + \sin x + C$

Trigonometrik İntegraller

$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$
$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

3. HAFTA

Rasyonel Kesirlerin İntegrasyonu

Polinomların bölümü şeklindeki ifadelerde ($\frac{P(x)}{Q(x)}$), payda çarpanlarına ayrılarak Basit Kesirlere Ayırma yöntemi kullanılır.

Örnek: $\int \frac{1}{x^2-1} dx$

İfadeyi ayıralım: $\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x=1 \Rightarrow 2A=1 \Rightarrow A=1/2$

$x=-1 \Rightarrow -2B=1 \Rightarrow B=-1/2$

$\int (\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}) dx$

$= \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$

4. HAFTA

Belirli İntegral

Analizin Temel Teoremi

Sınırlar dahilinde net değişim hesaplanır. Sonuç bir sayıdır.

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$

Hesaplama Örneği

$\int_{1}^{2} (3x^2 + 2x) dx$

1. İntegral Al: $x^3 + x^2$

2. Sınırları Koy: $[x^3 + x^2]_{1}^{2}$

$= (2^3 + 2^2) - (1^3 + 1^2)$

$= (8 + 4) - (1 + 1) = 12 - 2$

$= 10$

5. HAFTA

Alan Hesabı

Eğri altında kalan alan veya iki eğri arasındaki alan pozitif çıkar.

Alan Hesabı

$y=x$ ve $y=x^2$ arası:

Alan $= \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$

$= [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1$

$= \frac{1}{6}$ br$^2$

Hacim Hesabı

$y=f(x)$'in x-ekseni etrafında dönmesi:

$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx $$

6. HAFTA

Belirli İntegralin İşletme Uygulamaları

Tüketici Rantı (CS)

Talep eğrisi altındaki net fayda.

$$ CS = \int_{0}^{q_0} D(q)dq - P_0q_0 $$

Üretici Rantı (PS)

Piyasa fiyatı üzerindeki net kazanç.

$$ PS = P_0q_0 - \int_{0}^{q_0} S(q)dq $$

Marjinal Maliyetten Toplam Maliyete: $TC(q) = \int MC(q) dq + FC$ (Sabit Maliyet)

7. HAFTA

Vektör ve Matrisler

Vektörler

Yönlü büyüklüklerdir. İç çarpım (Dot Product) önemlidir.

u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots

Özel Matrisler

Birim Matris ($I$): Köşegenleri 1, diğerleri 0.
Sıfır Matris ($0$): Tüm elemanları 0.
Kare Matris: Satır = Sütun sayısı.

Matris Çarpımı

1. Matrisin Satırı $\times$ 2. Matrisin Sütunu

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 20 \end{bmatrix} $$

8. HAFTA

Ara Sınav Haftası

Vize Sınavında Başarılar!

İlk 7 haftanın konuları dahildir.

9. HAFTA

Minör, Determinant, Ters Matris

Determinant $|A|$

2x2 için: $(ad - bc)$

Minör: Bir elemanın satır ve sütunu silinince kalan determinant.

Kofaktör: $(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$

Ters Matris Formülü

$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Ek}(A) $$

Ek(A): Kofaktörler matrisinin transpozu (Adjoint).

Önemli Kural

Determinantı 0 olan matrisin (Singüler Matris) tersi alınamaz.

10. HAFTA

Matrislerin İşletme Uygulamaları

Ekonomide sektörler arası mal akışını modellemek için Leontief Girdi-Çıktı Modeli kullanılır.

Leontief Açık Modeli$$ X = (I - A)^{-1} \cdot D $$
$X$: Üretim Vektörü
$I$: Birim Matris
$A$: Teknoloji (Katsayılar) Matrisi
$D$: Talep Vektörü

11. HAFTA

Lineer Denklem Sistemleri

1. Cramer Kuralı

Bilinmeyenler determinant oranlarıyla bulunur.

$$ x_1 = \frac{|A_1|}{|A|}, \quad x_2 = \frac{|A_2|}{|A|} $$

2. Gauss-Jordan Yok Etme

Satır işlemleri ile matris birim matrise dönüştürülür.

[A | b] -> [I | x]

12. HAFTA

Basit Faiz ve İskonto

Basit Faiz ($I$)

$$ I = P \cdot r \cdot t $$

P: Anapara, r: Yıllık Faiz Oranı, t: Süre (Yıl)

Gelecek Değer ($S$):

$$ S = P(1 + rt) $$

Basit İskonto ($D$)

Gelecekteki paranın şimdiki değerini bulma.

$$ P = \frac{S}{1+rt} $$

Dış İskonto yöntemi.

13. HAFTA

Bileşik Faiz ve İskonto

Faizin de faiz getirdiği sistemdir. Uzun vadeli işlemlerde kullanılır.

Bileşik Faiz Formülü$$ S = P(1 + i)^n $$
$P$: Şimdiki Değer (PV)
$S$: Gelecek Değer (FV)
$i$: Dönemlik Faiz Oranı
$n$: Dönem Sayısı

Örnek Soru

10.000 TL, yıllık %20 faizle 2 yıllığına yatırılırsa?

1. Yıl Sonu: $10.000 \times 1.20 = 12.000$

2. Yıl Sonu: $12.000 \times 1.20 = 14.400$

Formülle: $10.000(1.2)^2 = 14.400$

14. HAFTA

Anüiteler (Eşit Taksitler)

Belirli aralıklarla yapılan eşit ödemelere veya tahsilatlara anüite denir.

Gelecek Değer (Birikim)

$$ S_n = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} $$

Düzenli para yatırıp biriktirme.

Şimdiki Değer (Kredi)

$$ A_n = R \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} $$

Kredi taksiti hesaplama.

15. HAFTA

Borç Amortismanı

Bir borcun eşit taksitlerle anapara ve faiz kısımlarına ayrılarak ödenmesidir.

Dönem	Taksit (R)	Faiz (I)	Anapara (P)	Kalan Borç
1	Sabit	Azalır	Artar	Azalır

16. Hafta: Çalışma Haftası

Tüm konuların genel tekrarı ve örnek soru çözümleri.

17. Hafta: FİNAL SINAVI

1-15. haftaların tamamından sorumlusunuz. Başarılar!