MAT1043 İşletme Matematiği I

Bir öğrencinin aylık bütçesi 5000 TL'dir. Kira (K) ve Gıda (G) harcamaları toplamı bütçeyi aşamaz.
Eşitsizlik: $$ K + G \le 5000 $$

$$ 3x - 5 \le 4x + 2 $$ x'leri bir tarafa toplayalım: $$ -5 - 2 \le 4x - 3x $$ $$ -7 \le x $$ Çözüm Kümesi: $ [-7, \infty) $

$$ f(x) = \frac{2x+1}{x-3} $$ Payda sıfır olamaz, bu yüzden $ x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 $.
Tanım Kümesi: $ \mathbb{R} - \{3\} $

Bir ayakkabı atölyesinin aylık kirası 10.000 TL (Sabit). Bir ayakkabının malzeme maliyeti 200 TL. Satış fiyatı 500 TL.

1. Maliyet Fonk: $ C(x) = 200x + 10000 $
2. Gelir Fonk: $ R(x) = 500x $
3. Kâr Fonk: $ P(x) = 500x - (200x + 10000) = 300x - 10000 $

Yukarıdaki örnek için başabaş noktası nedir? $$ P(x) = 0 \Rightarrow 300x - 10000 = 0 $$ $$ 300x = 10000 $$ $$ x \approx 33.33 $$ Atölye en az 34 adet ayakkabı satmalıdır ki kâra geçsin.

Talep: $ p = 100 - 2q $
Arz: $ p = 20 + 3q $
Denge için eşitle:
$ 100 - 2q = 20 + 3q $
$ 80 = 5q \Rightarrow q = 16 $ (Denge Miktarı)
Fiyatı bulmak için yerine koy: $ p = 20 + 3(16) = 20 + 48 = 68 $ TL.

$$ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$ Doğrudan 3 koyarsak $ 0/0 $ olur. $$ \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)} = x+3 $$ Şimdi x yerine 3 koyalım: $ 3+3 = 6 $.

a) $ f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5 $
$ f'(x) = 12x^3 - 4x $

b) $ f(x) = (2x+1)(x^2) $ (Çarpım Kuralı)
$ f'(x) = (2)(x^2) + (2x+1)(2x) = 2x^2 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x $

Fiyat Fonksiyonu: $ p(x) = 400 - 2x $
Maliyet Fonksiyonu: $ C(x) = 40x + 2000 $
Maksimum kâr için kaç birim üretilmeli?

1. Gelir: $ R(x) = x \cdot (400 - 2x) = 400x - 2x^2 $
2. Kâr: $ P(x) = (400x - 2x^2) - (40x + 2000) = -2x^2 + 360x - 2000 $
3. Türev Al: $ P'(x) = -4x + 360 $
4. Sıfıra Eşitle: $ -4x + 360 = 0 \Rightarrow 4x = 360 \Rightarrow \mathbf{x = 90} $

Bir madeni para ve bir zar birlikte atılıyor.
Soru: Paranın Tura (T) ve Zarın çift sayı gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
Para Olasılığı P(T) = 1/2
Zar Çift (2,4,6) P(Ç) = 3/6 = 1/2
Bağımsız olaylar olduğu için çarpılır: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $

10 kişilik bir başvuru havuzundan 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? $$ C(10,3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \text{ farklı ekip.} $$

Bir yatırım projesinin getirileri ve olasılıkları şöyledir:
• %40 olasılıkla 10.000 TL Kâr
• %30 olasılıkla 2.000 TL Kâr
• %30 olasılıkla 5.000 TL Zarar (-5.000)

Beklenen Getiri: $$ E(X) = (10000 \cdot 0.40) + (2000 \cdot 0.30) + (-5000 \cdot 0.30) $$ $$ E(X) = 4000 + 600 - 1500 = 3100 \text{ TL} $$ Sonuç pozitif olduğu için yatırım mantıklıdır.

$$ f(x, y) = 3x^2y + 5y^3 - 2x + 10 $$
x'e göre türev ($ f_x $): y sabit sayı gibi düşünülür. $$ f_x = 3(2x)y - 2 = 6xy - 2 $$
y'ye göre türev ($ f_y $): x sabit sayı gibi düşünülür. $$ f_y = 3x^2(1) + 15y^2 = 3x^2 + 15y^2 $$

$$ f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 $$ Fonksiyonun minumum noktasını bulunuz.

1. $ f_x = 2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 $
2. $ f_y = 2y - 6 = 0 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 $

Kritik Nokta: (2, 3) noktasıdır.

Bir fabrika A ve B mallarını üretiyor.
Kâr Fonksiyonu: $ P(x, y) = -x^2 - y^2 + 10x + 20y $
x: A malı miktarı, y: B malı miktarı. Max kâr için üretim ne olmalı?

Çözüm:
$ P_x = -2x + 10 = 0 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow \mathbf{x = 5} $
$ P_y = -2y + 20 = 0 \Rightarrow 2y = 20 \Rightarrow \mathbf{y = 10} $

5 birim A ve 10 birim B malı üretilmelidir.
Max Kâr = $ -(25) - (100) + 50 + 200 = 125 $ TL.

Bir atölye Masa (M) ve Sandalye (S) üretiyor.
• Masa 2 saat, Sandalye 1 saat işçilik gerektiriyor. Toplam 100 saat var.
• Masa kâr 50 TL, Sandalye 30 TL.

Model:
Maks. $ Z = 50M + 30S $
Kısıt: $ 2M + 1S \le 100 $ (İşçilik)
Kısıt: $ M, S \ge 0 $

Maks. $ Z = 3x + 2y $
Kısıtlar:
1) $ x + y \le 4 $
2) $ x, y \ge 0 $

Köşe Noktaları:
Doğruyu çiz ($ x+y=4 $): Eksenleri (4,0) ve (0,4)'te keser.
Olası Köşeler: (0,0), (4,0), (0,4).

Değerlendirme:
(0,0) $\to Z = 0$
(4,0) $\to Z = 3(4) + 0 = 12$ (Maksimum)
(0,4) $\to Z = 0 + 3(4) = 8$